Wówczas
Różniczkując powyższą równość w za pomocą reguły łańcuchowej, otrzymuje się
przy czym macierz Jacobiego w punkcie jest w istocie gradientem w tzn.
Z własności iloczynu skalarnego wynika, że gradient w punkcie jest prostopadły do stycznej do krzywej (a więc i poziomicy) w tym punkcie. Ostatecznie ponieważ krzywa mogła być wybrana dowolnie, to gradient istotnie jest prostopadły do poziomicy.
Konsekwencją tego twierdzenia jest, że jeśli poziomica przecina się (dokładniej, nie jest gładką podrozmaitością, czy hiperpowierzchnią), to wektor gradientu musi być zerowy we wszystkich punktach przecięć. W ten sposób każdy taki punkt jest punktem krytycznym
Zobacz też metoda poziomic
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-08-29]. Level set , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-29].
Kategoria:Obrazy i przeciwobrazy Kategoria:Wykresy