Komitet zyskał rozgłos poprzez działalność w jego szeregach Lee Harvey Oswalda w Nowym Orleanie, który później został oskarżony o zabójstwo prezydenta Stanów Zjednoczonych John F. Kennedy’ego. Jak prawie wszystko, co jest związane z zabójstwem Kennedy’ego, Komitet „Fair Play” wobec Kuby stał się przedmiotem wielu spekulacji. Komitet był podejrzany o współpracę z Sowietami, mając na celu wsparcie dla amerykańskich komunistów. Paradoksalnie, był blisko związany z trockistowską Socjalistyczną Partią Robotniczą USA. Pod koniec działalności, Komitet był podejrzewany o znaczną lub całkowitą kontrole ze strony FBI lub innych amerykańskich agencji rządowych. Marionetkowa organizacja miała służyć identyfikacji komunistów oraz ich sympatyków (Część ulotek FPCC Oswalda miało nadruki z adresem „544 Camp Street”. Był to ten sam budynek, w którym swoje biuro miał Guy Banister, ex-agent FBI, zaangażowany w działalność kontrwywiadowczą). Jim Garrison, podczas swojego śledztwa nad zamachem na Kennedy’ego, sugerował zaangażowanie kilku agencji wywiadowczych w jego działania w Nowym Orleanie.
W rzeczywistości jednak, 544 Camp Street nie był adresem biura Banistera.