(funkcjonał Minkowskiego wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).
Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów
Jeżeli jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem to przestrzeń funkcjonałów liniowych określonych na i o wartościach w oznacza się zwykle symbolem i nazywa przestrzenią sprzężoną algebraicznie do
W kontekście przestrzeni unormowanych rozważa się jednak częściej rodzinę tych funkcjonałów liniowych na nich określonych, które są ciągłe: tworzą one przestrzeń nazywaną przestrzenią sprzężoną topologicznie; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić normę operatorową. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa przestrzenie sprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy przestrzeń jest zupełna.
Każdą przestrzeń unormowaną X można izometrycznie zanurzyć w drugą przestrzeń sprzężoną poprzez odwzorowanie
dane wzorem