21 sierpnia 2017 Wood podpisał czteroletni kontrakt z Burnley za kwotę około 15 milionów funtów. Wood zadebiutował w Burnley 27 sierpnia przeciwko Tottenhamowi na stadionie Wembley i strzelił wyrównującą bramkę w drugiej minucie doliczonego czasu gry w meczu, który zakończył się wynikiem 1:1.
19 września, w trzeciej rundzie Pucharu Ligi, Wood strzelił swojemu byłemu klubowi Leeds United na Turf Moor w 89. minucie z rzutu karnego. Mecz zakończył się w regulaminowym czasie gry wynikiem 2:2 po dogrywce, a Leeds wygrało mecz 5:3 w rzutach karnych. 8 listopada 2019 Wood podpisał nowy kontrakt z Burnley łączący go z klubem do czerwca 2023.
6 marca 2021 Wood strzelił swojego 40. gola w Premier League w zremisowanym 1:1 meczu z Arsenalem, a także został ósmym graczem w historii klubu, który zagrał 100 meczów w Premier League dla Burnley. 25 kwietnia strzelił swojego pierwszego hat-tricka dla Burnley w wygranym 4:0 wyjazdowym meczu z Wolverhampton Wanderers, stając się pierwszym Nowozelandczykiem, który tego dokonał.
13 stycznia 2022 Wood podpisał dwuipółletni kontrakt z Newcastle United za kwotę wynoszącą 25 milionów funtów, po tym jak uruchomiono zapisaną w umowie klauzulę odejścia.