Pracowali przy budowie miasta Inta oraz linii kolejowej nr 303. Ksiądz Świątek pracował tam do końca wyroku, spełniając w ukryciu posługę duszpasterza dla Polaków, Litwinów i Łotyszy. 16 lipca 1954 został uwolniony, w ramach zwolnień więźniów politycznych z łagrów, na mocy decyzji Berii, a realizowanych przez Chruszczowa, i powrócił do Pińska.
Gdy na fali pieriestrojki zaczęły powstawać polskie stowarzyszenia, a wśród nich Związek Polaków na Białorusi, bardzo aktywnie włączył się w jego działalność, w którym pełnił funkcję zastępcy prezesa i wszedł do zarządu głównego.
13 kwietnia 1991 został prekonizowany arcybiskupem metropolitą archidiecezji mińsko-mohylewskiej i administratorem apostolskim diecezji pińskiej. 26 listopada 1994 został podniesiony do godności kardynalskiej. Z powodu osiągnięcia wieku emerytalnego nie uczestniczył nigdy w konklawe. Jego kościołem tytularnym był S. Gerardo Maiella. 27 września 2004 Jan Paweł II wręczył Kazimierzowi Świątkowi Nagrodę Fidei Testis (Świadek Wiary) przyznaną przez Instytut im. Pawła VI.
14 czerwca 2006 przeszedł na emeryturę, jednak pozostał administratorem apostolskim diecezji pińskiej do 14 czerwca 2011.