delegatem Stolicy Świętej na Konferencji Narodów Zjednoczonych w Wiedniu (1975), a od 1979 zastępcą sekretarza Rady Spraw Publicznych Kościoła.
5 sierpnia 1988 został mianowany nuncjuszem w Holandii, jednocześnie otrzymał godność arcybiskupa tytularnego Meta. 4 października 1988 sakry biskupiej udzielił mu w Watykanie Jan Paweł II. W grudniu 1991 arcybiskup Backis został przeniesiony na stolicę arcybiskupią w Wilnie; w latach 1993–1999 i ponownie w latach 2002–2005 pełnił funkcję przewodniczącego, a w latach 1999–2002 i ponownie w latach 2005–2011 wiceprzewodniczącego Konferencji Biskupów Litwy.
W lutym 2001 Jan Paweł II mianował go kardynałem, nadając tytuł prezbitera Nativita di Nostra Signore Gesu Cristo a Via Gallia. W październiku 1999 arcybiskup Backis brał udział w II specjalnej sesji Światowego Synodu Biskupów w Watykanie, poświęconej Kościołowi europejskiemu.
Uczestnik konklawe 2005 i konklawe 2013 roku. 1 lutego 2017 w związku z ukończeniem 80 lat utracił prawo do czynnego udziału w przyszłych konklawe.
5 kwietnia 2013 papież Franciszek przyjął jego rezygnację z urzędu złożoną ze względu na wiek.