13 września 2014 r. Szymon Woźniak zdobył tytuł Młodzieżowego Indywidualnego Mistrza Polski na torze w Gorzowie Wielkopolskim.
Od 2015 jeździ również w lidze szwedzkiej. Jego pierwszym klubem w tym kraju była Rospiggarna Hallstavik. Ponadto w latach 2015–2016 jeździł dla brytyjskiego Leicester Lions. Po sezonie 2015 odszedł z Polonii Bydgoszcz. W latach 2016–2017 startował dla Sparty Wrocław. Od 2017 roku był zawodnikiem Vetlandy Speedway. 2 lipca 2017 r. wywalczył tytuł Indywidualnego Mistrza Polski na żużlu w finale rozgrywanym na torze w Gorzowie Wielkopolskim. Kończąc rozgrywki Ekstraligi 2017 na drugim miejscu, Woźniak zdobył swój pierwszy medal DMP w karierze.
Od sezonu 2018 do sezonu 2024 jeździł dla Stali Gorzów. Dostał dziką kartę na Grand Prix w Gorzowie 25 sierpnia 2018 roku. Był to debiut Woźniaka w tym cyklu. Zawody te ukończył na dziesiątym miejscu z dorobkiem ośmiu punktów (3,1,2,0,2). Pierwszy sezon w gorzowskiej drużynie zakończył ze średnią biegową wynoszącą 1,638. W sezonie 2019 był bardzo ważnym zawodnikiem drużyny i drugim po Bartoszu Zmarzliku najważniejszym filarem gorzowskiego klubu. Pięciokrotnie notował dwucyfrową liczbę punktów, a jego średnia biegowa wyniosła 1,952 (druga najwyższa w drużynie i 16. w lidze).