Od 1962 pracował w sekcji pierwszej Sekretariatu Stanu, prowadził także zajęcia w Papieskiej Akademii Duchownej.

1 sierpnia 1973 został mianowany nuncjuszem w Peru i arcybiskupem tytularnym Abari, odebrał sakrę biskupią 16 września 1973 z rąk kardynała Paolo Bertoliego. W listopadzie 1978 został przeniesiony na funkcję nuncjusza w Libanie, w sierpniu 1982 na nuncjusza w Brazylii. W latach 1992–1994 był nuncjuszem we Włoszech.

26 listopada 1994 Jan Paweł II mianował go kardynałem, nadając diakonię Sacro Cuore di Cristo Re. Kardynał Furno pełnił kilka funkcji honorowych – Wielkiego Mistrza Zakonu Rycerskiego Grobu Bożego w Jerozolimie (od grudnia 1995 do czerwca 2007), delegata papieskiego przy patriarchalnej bazylice św. Franciszka w Asyżu (1996–1998), archiprezbitera patriarchalnej bazyliki S. Maria Maggiore w Rzymie (1997–2004), z racji ten ostatniej funkcji był legatem papieskim na zamknięcie Świętych Drzwi w bazylice na koniec obchodów Roku Jubileuszowego 2000 (styczeń 2001). Ponadto reprezentował Jana Pawła II jako specjalny wysłannik m.in. na obchodach 100-lecia ewangelizacji Republiki Środkowoafrykańskiej w styczniu 1995 oraz na XIII Narodowym Kongresie Eucharystycznym Brazylii w Vitoria (luty 1996).