Domknięcie algebraiczne Rozszerzenie algebraiczne ciała , które jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym. Domknięcie algebraiczne można równoważnie zdefiniować jako najmniejsze ciało algebraicznie domknięte zawierające . Zazwyczaj domknięcie algebraiczne ciała oznacza się przez .
Przykładem domknięcia algebraicznego jest jako rozszerzenie . Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywa się „zasadniczym twierdzeniem algebry” i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.
Domknięcie algebraiczne liczb wymiernych Domknięcie algebraiczne ciała ciała liczb wymiernych oznacza się i jest ono nazywane nazywamy ciałem liczb algebraicznych.
Z faktu, że zbiór wielomianów jest zbiorem przeliczalnym, a dowolny wielomian ma skończenie wiele pierwiastków, wynika że jest zbiorem przeliczalnym. Ponieważ jest zbiorem nieprzeliczalnym, to jest istotnie mniejszym podciałem liczb zespolonych. Liczby zespolone, które nie są algebraiczne nazywa się liczbami przestępnymi.