Warunkowa wartość oczekiwana – w teorii prawdopodobieństwa i statystyce wartość oczekiwana zmiennej losowej obliczana w odniesieniu do jej rozkładu warunkowego. Intuicyjnie jest to „przeciętna” wartość, jaką przyjmuje zmienna losowa w sytuacji, gdy dysponujemy dodatkową informacją o wyniku doświadczenia losowego (np. wiemy, że zaszło określone zdarzenie lub znamy realizację innej zmiennej losowej) i możemy wyznaczyć prawdopodobieństwa warunkowe.
Przykład Rozważany jest rzut symetryczną, sześciościenną kostką do gry. Niech zmienna losowa oznacza liczbę wyrzuconych oczek.
Wartość oczekiwana bezwarunkowa. Każdy wynik ma prawdopodobieństwo . Zgodnie z definicją:
Wartość oczekiwana warunkowa. Przyjmijmy, że uzyskano informację, iż wynik rzutu jest liczbą parzystą (zaszło zdarzenie ). W nowej przestrzeni zdarzeń każdy z tych trzech wyników jest jednakowo prawdopodobny (). W takiej sytuacji warunkowa wartość oczekiwana wynosi:
Dodatkowa informacja o parzystości wyniku pozwoliła na aktualizację wartości oczekiwanej z 3,5 na 4.
Definicja dla zdarzenia
Jeżeli jest zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie (), to dla zmiennej dyskretnej
Dla zmiennej ciągłej
gdzie jest gęstością warunkową.
Warunkowa wartość oczekiwana względem zmiennej losowej
Jeżeli i są zmiennymi losowymi, to
jest funkcją zmiennej .