raz jeszcze na podstawie aksjomatu lub twierdzenia), tzn. każdy zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny, można dowieść, że każdy zbiór liczb naturalnych ma kres dolny, dalej oznaczany Wystarczy teraz znaleźć taką liczbę całkowitą dla której leży w przedziale a następnie wykazać, że musi zachodzić przy czym W aksjomatycznej teorii mnogości liczby naturalne definiowane są jako najmniejszy zbiór induktywny (tzn. zbiór zawierający 0 i zamknięty ze względu na operację następnika). Można pokazać (nawet bez odwoływania się do aksjomatu regularności), że zbiór wszystkich liczb naturalnych o własności „ jest dobrze uporządkowany” jest induktywny i dlatego musi zawierać wszystkie liczby naturalne; z własności tej można wydedukować, że zbiór wszystkich liczb naturalnych również jest dobrze uporządkowany.
Przytoczone wyżej wyrażenie wykorzystuje się też czasem w celu uzasadnienia dowodów następującej postaci: aby dowieść, że każda liczba naturalna należy do określonego zbioru załóżmy przeciwnie i wywnioskujmy dzięki temu istnienie (niezerowego) najmniejszego kontrprzykładu. W dalszej kolejności wystarczy pokazać, że musi istnieć również mniejszy kontrprzykład albo, że najmniejszy kontrprzykład nim nie jest, co w obu przypadkach daje sprzeczność.