Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich i oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez lub nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:
gdzie oraz przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych rzeczywistych dodatnich, ponieważ co wynika z nierówności Cauchy’ego między średnimi, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów i dążą do zera:
Z samej konstrukcji mamy:
Przykład Aby wyznaczyć średnią arytmetyczno-geometryczną liczb i najpierw wyliczamy wartości średnich:
i dalej rekurencyjnie:
Po pięciu początkowych iteracjach otrzymujemy: {| class="wikitable" |- ! ! ! |- | 0 | 24 | 6 |- | 1 | 15 | 12 |- | 2 | 13,5 | 13,416407864998738178455042… |- | 3 | 13,458203932499369089227521… | 13,458139030990984877207090… |- | 4 | 13,458171481745176983217305… | 13,458171481706053858316334… |- | 5 | 13,458171481725615420766820… | 13,458171481725615420766806…
Jak widzimy na przykładzie, ciąg zgodnych cyfr po przecinku (zaznaczonych podkreśleniem) wydłuża się mniej więcej dwukrotnie z każdym powtórzeniem.