stąd wynika Tw. 2.
(b) Tw. 3 wynika wprost z definicji całki: . Podstawiając otrzymamy oraz zmienią się granice całowania, tak że:
(c) Wartość całki oznaczonej jest równa polu powierzchni pod wykresem funkcji podcałkowej w zakresie od 0 do ; z symetrii wykresu w tym zakresie widać, że , gdzie jest całką eliptyczną zupełną 1. rzędu (por. definicję niżej) - jest to treścią Tw. 4.
(d) Tw. 5 wynika z wielokrotnego zastosowania Tw. 2 i 3.
Uwaga:
Wartość całki jest ujemna dla , pomimo że funkcja podcałkowa ma wartości dodatnie. Fakt ten wynika stąd, że górna granica całkowania jest w tym wypadku mniejsza niż dolna. Ma to zastosowanie np. w fizyce do wyznaczenie ruchu wahadła, gdzie kątom odchylenia wahadła od pionu w lewo nadaje się wartości z przeciwnymi znakami niż dla odchyleń w prawo (np. dla odchyleń w lewo, dla odchyleń w prawo).