Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych istnieje liczba wymierna Dowód Gdyby były wymierne, to oczywiście spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród jest niewymierne. Jeśli to można przyjąć Jeśli to ponieważ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać takie, że czyli Podobnie gdy wskazujemy i wówczas Niech więc i niech np. jest niewymierne.Dla pewnego zachodzi stąd Z drugiej strony istnieje takie, że niech będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że Rzeczywiście, gdyby to byłoby Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc wbrew temu, że jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych o własności Ostatecznie łącznie z warunkiem daje
czyli
Jeśli jest niewymierne i wymierne, to wystarczy znaleźć takie, że i znaleźć jak poprzednio spełniające Wówczas i Jeśli to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie spełniające i wówczas
Przypisy
Linki zewnętrzne Tomasz Miller, Liczby całkowite i wymierne | Zacznijmy od zera #1, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus” na YouTube, 5 stycznia 2021 [dostęp 2023-11-26].
W Kategoria:Rodzaje ciał