Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące zarazem liczbami wymiernymi, czyli niedające się zapisać w postaci ilorazu , gdzie to liczby całkowite, przy czym .
Zbiór liczb niewymiernych jest równy różnicy zbioru liczb rzeczywistych i zbioru liczb wymiernych, tj. .
Przykłady liczb niewymiernych
Przykłady liczb niewymiernych: pierwiastek kwadratowy z dwóch (), pierwiastki kwadratowe z liczb naturalnych, które nie są kwadratami innych liczb naturalnych, np. , pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby pierwszej .
Dowód (dowód nie wprost). Wystarczy pokazać, że pierwiastek nie może być liczbą wymierną — a zatem (por. definicja liczby wymiernej) nie mogą istnieć takie liczby całkowite oraz , które byłyby wobec siebie względnie pierwsze i takie, że . Załóżmy najpierw, że jest liczbą wymierną i daje się zapisać w postaci gdzie to liczby całkowite. Podnosząc obie strony tej równości do kwadratu otrzymamy , a stąd , co oznacza (por. definicja relacji podzielności), że dzieli , a to z kolei oznacza, że – jako liczba pierwsza – musi także dzielić samo . Zapiszmy wobec tego, że jest: , dla jakiegoś .