Własność Grothendiecka w przestrzeniach C(K) funkcji ciągłych W dalszym ciągu oznacza zwartą przestrzeń Hausdorffa oraz oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone z normą supremum. Grothendieck udowodnił, że jeżeli jest zwartą przestrzenią ekstremalnie niespójną, to ma własność Grothendiecka. Andô udowodnił, że tę samą własność mają przestrzenie gdy jest przestrzenią σ-Stone’owskąT. Andô, Convergent sequences of finitely additive measures, „Pacificfic J. Math.” 11 (1961), s. 395–404.. Seever uogólnił te wyniki, pokazując, że jeżeli jest zwartą F-przestrzenią, to przestrzeń ma własność GrothendieckaG.L. Seever, Measures on F-spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 133 (1968), s. 267–280.. Jeżeli jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzeń jest przestrzenią Grothendiecka, to nie zawiera ciągów zbieżnych poza tymi, które są prawie wszędzie stałe, tj. trywialne. Dowód. Rozumując nie wprost, niech będzie nietrywialnym ciągiem zbieżnym w przestrzeni (nietrywialność oznacza, że ciąg ten przyjmuje nieskończenie wiele wartości).