Iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta i – przestrzeń Hilberta, utworzona z iloczynu tensorowego przestrzeni i traktowanych jako przestrzenie liniowe, z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym.
Definicja iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta Iloczynem tensorowym przestrzeni Hilberta i nazywa się przestrzeń Hilberta, taką że:
(1) bazę przestrzeni stanowi zbiór wektorów
gdzie: i – bazy ortonormalne odpowiednio w przestrzeni i – Iloczyn Kroneckera wektorów baz i
(2) iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest zdefiniowany następująco:
jeżeli i są przestrzeniami Hilberta z iloczynami skalarnymi, odpowiednio, i to iloczyn skalarny w przestrzeni definiuje wzór
gdzie:
Ponieważ iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta oznacza się takim samym symbolem, jak iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych typ iloczynu wynika z kontekstu: przestrzenie liniowe, do których należą również przestrzenie Hilberta, mogą nie mieć zadanego iloczynu skalarnego; wówczas ich iloczyn tensorowy jest po prostu przestrzenią liniową, o bazie zadanej jak wyżej; iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ma dodatkową strukturę, zadaną przez definicję iloczynu skalarnego;