Zbiór gęsty – podzbiór przestrzeni topologicznej, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym przestrzeni topologicznej co najmniej jeden punkt wspólny.
Zbiór gęsty w przestrzeni metrycznej Niech dana będzie przestrzeń metryczna z metryką .
Tw. Zbiór jest gęsty, jeśli dowolnie blisko każdego elementu znajduje się jakiś element z .
Innymi słowy, zbiór jest gęsty, jeśli dla każdego elementu i dla dowolnie małej liczby istnieje element taki, że .
Zbiór nigdziegęsty Def. Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem nigdziegęstym, jeśli nie jest gęsty w żadnym niepustym zbiorze otwartym.
Przestrzeń ośrodkowa Def. Przestrzenią ośrodkową nazywa się przestrzeń topologiczną, która zawiera przeliczalny zbiór gęsty.
Własność ta oznacza, że za pomocą przeliczalnej liczby punktów można podejść dowolnie blisko każdego innego punktu w tej przestrzeni.
Przykłady.
Prosta rzeczywista jest przestrzenią ośrodkową. Jej przeliczalnym i gęstym podzbiorem jest zbiór liczb wymiernych . Przestrzenie euklidesowe są ośrodkowe. Zbiorem gęstym jest (zbiór punktów o wszystkich współrzędnych wymiernych), który jest przeliczalny.
Kontrprzykłady