Istotnie, dla przestrzeni i przekształceń takich że musimy mieć skąd dla każdego jest izomorfizmem z odwrotnością
Na przykład grupy homologii kuli w przestrzeni euklidesowej (lub ogólnie, przestrzeni ściągalnych) są zerowe we wszystkich wymiarach poza zerem, gdzie są równe bo mają typ homotopii punktu.
Homologie relatywne Definicja Homologie relatywne są użytecznym narzędziem do badania relacji między przestrzenią a jej podprzestrzenią. Dla danej podprzestrzeń można określić n-tą grupę relatywnych łańcuchów w względem jako
Operator brzegu przeprowadza łańcuchy zawarte w na łańcuchy zawarte a więc indukuje operator brzegu Zależność jest prawdziwa, bo była prawdziwa przed przejściem do operatorów indukowanych. Grupy łańcuchów relatywnych tworzą więc kompleks łańcuchowy, a jego homologie zapisuje się jako i nazywa się je homologiami X względem A.
Następujący krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych:
można na podstawie lematu o wężu wyprostować do długiego ciągu dokładnego homologii relatywnych:
gdzie to naturalne przekształcenia uzyskane z lematu o wężu.
Własność wycinania Fundamentalną własnością relatywnych grup homologii jest możliwość wycinania: jeżeli zbiór jest zawarty dostatecznie „głęboko” wewnątrz to możemy go „wyciąć”, nie zmieniając relatywnych grup homologii.