Złotym, Srebrnym i Brązowym Medalem za Wybitne Osiągnięcia Sportowe, Złotym Krzyżem Zasługi (1972), Krzyżem Kawalerskim Order Odrodzenia Polski (1976).
Po zakończeniu kariery sportowej był trenerem bokserskim, okazjonalnie zajmował się też dziennikarstwem, a nawet występował w kabarecie (razem z Władysławem Komarem) i pojawił się w telewizji jako wokalista jazzowy. Mieszkał w katowickim Kokocińcu.
6 sierpnia 1992 w Katowicach popełnił samobójstwo. Przyczyną była ciężka depresja po niedawnej śmierci żony. Został pochowany 11 sierpnia 1992 na Centralnym Cmentarzu Komunalnym w Katowicach przy ul. Murckowskiej.
Upamiętnienie W 1995 miała miejsce premiera filmu dokumentalnego Przez nokaut o życiu Leszka Błażyńskiego, którego reżyserem był Maciej Pieprzyca. Od 2006 w Bytomiu cyklicznie odbywa się Memoriał Leszka Błażyńskiego. Początkowo turniej bokserski odbywał się w Szkole Podstawowej nr 38 w Suchej Górze, później w bytomskiej Hali na Skarpie, a od 2014 pięściarze rywalizują w Teatrze Rozbark. 15 grudnia 2021 uroczyście odsłonięto na zabytkowej sali sportowej (hali bokserskiej, w której trenował Mazur Ełk) w Ełku przy ulicy Armii Krajowej 16 tablicę upamiętniającą Leszka Błażyńskiego.