Sezon 1991 był ostatnim dla Hiszpana na maszynie marki trzech skrzyżowanych kamertonów. Alberto zaliczył łącznie dwanaście eliminacji, z czego pięć ukończył z dorobkiem punktowym. Po raz trzeci z rzędu najlepszą zajętą przez niego pozycją okazała się siódma lokata. Pomimo mniejszej ilości punktów ponownie został sklasyfikowany na 16. pozycji
Piąty rok startów w serii był przełomowym w karierze Puiga. Dosiadając motocykl Aprlilia, Hiszpan dwukrotnie stanął na podium, zajmując w GP Malezji oraz GP Węgier drugie i trzecie miejsce. Uzyskane punkty dały mu 6. lokatę na koniec sezonu.
W sezonie 1993 jego zespół powrócił do używania motocykli Hondy, po tym jak udziały w zespole wykupił były zawodnik MMŚ Sito Pons. Alberto ponownie znalazł się dwukrotnie na podium, plasując się podczas GP Europy i Czech na trzeciej pozycji. W ostatecznej klasyfikacji zajął 9. miejsce, pomimo przekroczenia po raz pierwszy w karierze granicy stu punktów.