Na mistrzostwach świata w 1933 roku stał ośmiokrotnie na podium – był najbardziej utytułowanym strzelcem tych zawodów. Medale zdobył jeszcze w trzech edycjach tej imprezy. W 1935 roku wywalczył ich pięć, w tym jeden złoty w karabinie dowolnym leżąc z 300 m. Dwa lata później stanął na podium trzykrotnie, a w 1939 roku dwukrotnie. Podczas całej swojej kariery Rönnmark zdobył 23 medale mistrzostw świata, w tym 6 złotych, 9 srebrnych i 8 brązowych. W indywidualnych zawodach stał na podium 10 razy, zaś w drużynowych 13. Jeden z jego rekordów w karabinie dowolnym klęcząc z 300 m był przez 22 lata najlepszym wynikiem na świecie. Kilkukrotny mistrz Szwecji – zdobył złote medale w karabinie małokalibrowym leżąc z 50 m (1935), karabinie standardowym w trzech postawach z 300 m (1935, 1937, 1938, 1943) i karabinie mistrzowskim leżąc z 300 m (1933, 1938).
Karierę międzynarodową zakończył w 1939 roku. Był potem członkiem zarządu kilku organizacji strzeleckich.