W 2011 roku, po fali represji, która nastąpiła po wyborach prezydenckich w 2010 roku, Dawydźka i kilku innych czołowych menedżerów i pracowników głównych mediów państwowych zostało objętych zakazem podróżowania do UE i zamrożeniem aktywów w ramach listy sankcyjnej 208 osób odpowiedzialnych za represje polityczne, fałszerstwa wyborcze i propaganda na BiałorusiCouncil Decision 2012/642/CFSP of 15 October 2012 concerning restrictive measures against Belarus.. Sankcje zostały zniesione w 2016 roku.
W 2021 r. Dawydźka został ponownie dodany do listy sankcyjnej UE (ponownie)Хто ў чацьвёртым пакеце санкцыяў Эўразьвязу. Поўны сьпіс., SzwajcariiSearching for subjects of sanctions. i USATreasury Holds the Belarusian Regime to Account on Anniversary of Fraudulent Election..
Role w filmie i teatrze Hienadź Dawydźka m.in. zagrał rolę księcia Siemiona Olelkowicza w białoruskim filmie w 2003 roku pt. „Anastasija Słuckaja”, a także niewielką rolę w rosyjskim filmie z 2011 roku pt. „PiraMMMida”. Występując w teatrze, grał m.in. rolę rosyjskiego uczonego w dramacie „Tutejsi” Janki Kupały.