Adam Vetulani ukończył szkołę powszechną w Sanoku. W latach 1911–1914 ukończył trzy pierwsze klasy C. K. Gimnazjum w Sanoku, jako chlubnie uzdolniony. Szczególnnie przykładał się do nauki języków obcych: francuskiego, niemieckiego i łaciny. Następnie uczęszczał do gimnazjum w Cieszynie i polskiego gimnazjum w Wiedniu, po czym od 1915 do 1919 uczył się w klasach od piątej do ósmej C. K. III Gimnazjum w Krakowie, w którym już w niepodległej II Rzeczypospolitej po przemianowaniu na Państwowe Gimnazjum im. Króla Jana III Sobieskiego w czerwcu 1919 roku zdał egzamin dojrzałości z odznaczeniem. W latach nauki szkolnej żył bardzo skromnie, aby się utrzymać dawał prywatne korepetycje.

W czasie I wojny światowej z głodu zaciągnął się jako ochotnik do armii austriackiej i w jej szeregach walczył w latach 1917–1918 na froncie włoskimWedług relacji jego syna Jerzego, w związku z wybuchem wojny w 1914 roku renta przyznana Elżbiecie Vetulani została drastycznie obniżona i rodzina znalazła się w ciężkiej sytuacji materialnej: „[Ojciec] Był niedożywiony i miał tylko szesnaście lat, ale udało mu się dostać przydział dzięki zawyżeniu wieku. Gdy wrócił z frontu, trudno go było poznać, bo urósł o dwadzieścia centymetrów”. Zob.