Dla każdej liczby t w przedziale [0,1] niech dany będzie ciąg (tn) określony wzorem tn = 10nt - [10nt]. Funkcje fn: I → {0,1} dane wzorami fn(t) = 0, gdy t < tn i fn(t) = 1, gdy t ≥ tn są elementami przestrzeni produktowej {0,1}I, której topologia jest de facto topologią zbieżności punktowej. Ciąg (fn) nie ma podciągu zbieżnego (tj. kostka Cantora {0,1}I nie jest ciągowo zwarta). Rzeczywiście, niech n(1) < n(2) < ... będzie dowolnym ściśle rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Ponieważ funkcje fn przyjmują tylko dwie wartości, więc istnieje taka liczba t w przedziale [0,1], że ciąg wartości (fn(1)(t), fn(2)(t), fn(3)(t), ...) zawiera nieskończenie wiele zarówno zer jak i jedynek, co pokazuje, że granica podciągu (fn(1), fn(2), fn(3), ...) w punkcie t nie istnieje. □ Twierdzenie Eberleina-Szmuljana stwierdza, że słabo zwarte podzbiory przestrzeni Banacha to dokładnie te zbiory, które są ciągowo zwarte w słabej topologii. W szczególności, każda przestrzeń Eberleina jest ciągowo zwarta. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu wynika, że kula jednostkowa Bℓ∞* przestrzeni