Szereg 1 + 2 + 4 + 8 + … – nieskończony szereg, którego wyrazy są kolejnymi potęgami liczby 2. Jako szereg geometryczny, jest on opisany przez pierwszy wyraz szeregu, równy 1, oraz iloraz szeregu geometrycznego, równy 2. Jako szereg liczb rzeczywistych jest on rozbieżny, czyli z definicji jego suma nie istnieje. W znacznie szerszym sensie, z tym szeregiem jest skojarzona inna liczba oprócz a mianowicie
Sumowanie Sumy cząstkowe szeregu to rosną one do nieskończoności, tak jak szereg. Dlatego też każda regularna metoda sumowania, w tym sumowalność metodą Cesàro i sumowalność metodą Abela, prowadzi do nieskończonych wyników.
Z drugiej strony istnieje przynajmniej jedna użyteczna metoda, która sumuje do wartości skończonej równej Skojarzony szereg potęgowy
ma promień zbieżności równy czyli nie jest zbieżny dla Niemniej jednak tak zdefiniowana funkcja posiada unikalne przedłużenie analityczne na płaszczyźnie zespolonej bez ograniczenia do i jest ono zdefiniowane przez tę samą regułę Ponieważ to można powiedzieć, że pierwotny szereg jest sumowalny do −1, zaś −1 to suma tego szeregu.
Niemalże identycznym sposobem jest rozważenie szeregu potęgowego, w którym wszystkie współczynniki są równe 1, tj.
i podstawienie Oczywiście oba te szeregi są ze sobą w relacji przez zamianę zmiennych