Gdy Antoni miał niecałe 3 lata, jego ojciec zginął potrącony przez samochód. Trudna sytuacja bytowa rodziny (Załęscy mieli w sumie siedmioro potomstwa) zmusiła starsze rodzeństwo przyszłego boksera do pracy w stalowniach już we wczesnym wieku. On sam, po osiągnięciu kilkunastu lat, w chwilach wolnych od nauki również zaczął dorabiać w hucie.
Kariera bokserska Początki Dwaj starsi bracia Załęskiego w wolnym czasie amatorsko trenowali boks w lokalnym klubie działającym pod egidą Związku Narodowego Polskiego. Poszedł on w ich ślady i w wieku 15 lat stoczył swoją pierwszą walkę. Początkowo występował w wadze lekkiej, a później w półśredniej i średniej. Okazał się utalentowanym pięściarzem. W sumie stoczył 95 amatorskich walk, z których 87 wygrał, w tym ponad połowę przed czasemTak podaje: Inne źródła informują o ponad 200 stoczonych walkach, m.in.. Zdobył przy tym cztery razy mistrzostwo miasta (turnieje z serii Golden Gloves).