Od tego czasu grał na wiolonczeli Amatiego.

W czasie II wojny światowej w 1941 zgłosił się ochotniczo do wojska, jednak kilka miesięcy później został ewakuowany do Nowosybirska, gdzie koncertował dla armii. W 1943 został solistą Filharmonii Moskiewskiej. Po wojnie w 1946 wykonał i nagrał wraz z jej autorem sonatę wiolonczelową Szostakowicza. W 1949 roku zdobył 1 nagrodę w Konkursie Młodzieży i Studentów w Budapeszcie, a w 1950 pierwsze miejsce w konkursie wiolonczelowym w Pradze (ex aequo z Mstisławem Rostropowiczem). W 1950 ukończył Konserwatorium Leningradzkie w klasie Aleksandra Sztrimera.

Działalność muzyczna Daniił Szafran wykonywał i nagrywał bardzo obszerny repertuar koncertów Schumanna, Saint-Saënsa, Dvořáka, Milhaud, Barbera, Prokofjewa, Chaczaturiana i Szostakowicza, wszystkie sonaty Beethovena i Brahmsa, suity Bacha, utwory Ravela, Debussy'ego oraz muzykę współczesną: pierwszy koncert Chriennikowa, oba koncerty Kabalewskiego, utwory Arapowa, Cincadzego, Borisa Czajkowskiego, Sznitkego, Wajnberga (1960 – występ w Carnegie Hall).

Wiolonczelista był członkiem jury wielu konkursów wiolonczelowych i kursów mistrzowskich w Niemczech, Luksemburgu, Włoszech, Wielkiej Brytanii, Finlandii i wielu innych krajach.

Gra Szafrana charakteryzowała się niezwykle śpiewnym dźwiękiem, wielką poetyką oraz ogromną wirtuozerią.