Dlatego istnienie i jednoznaczność łatwiej uzyskać na podstawie opisu aksjomatycznego, co opisuje następna sekcja.
Istnienie i jednoznaczność Załóżmy teraz, że jest rozmaitością riemannowską. Sprawdzimy najpierw, że istnieje najwyżej jedno połączenie Levi-Civity.
Rozważmy trzy pola styczne Z warunku 1 oraz własności symetrii tensora metrycznego otrzymuje się
Na mocy warunku 2 prawa strona równania jest równa
więc
Iloczyn skalarny z jest więc jednoznacznie wyznaczony w terminach samej metryki. Ponieważ pole można wybrać dowolnie, powyższa równość determinuje pole
Istnienie połączenia Levi-Civity również wynika z powyższych rozważań. Mianowicie przyjmując ostatnią linię jako definicję można sprawdzić, że wyrażenie tak zdefiniowane spełnia warunki na połączenie Levi-Civity.
Zobacz też przeniesienie równoległe Tullio Levi-Civita
Bibliografia
Linki zewnętrzne Levi-Civita connection , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Geometria riemannowska