W 1994 r. zadebiutował w narodowej drużynie na szachowej olimpiadzie rozegranej w Moskwie. W turniejach olimpijskich startował jeszcze dwukrotnie (2004, 2010), największy sukces odnosząc w 2004 r. w Calvii, gdzie zdobył srebrny medal za indywidualny wynik na I szachownicyOlimpBase.
Andrés Rodríguez Vila przez wiele lat nie startował w finałach mistrzostw UrugwajuCAMPEONES URUGUAYOS DE AJEDREZ (lista mistrzów z lat 1927–2008), uczestniczył w nich w latach 1988, 1991 i 1992, a następnie dopiero w 2010 roku. Z tego powodu nie ma w swoim dorobku wielu medali mistrzostw kraju: w 2010 r. podzielił II-III miejsce (za Manuelem Larreą, wspólnie z Bernardo Roselli Mailhe)Campeonato Uruguayo Absoluto Final 2010, w 2011 r. zdobył medal srebrny (zwyciężył wówczas Bernardo Roselli Mailhe)Final Campeonato Uruguayo 2011, natomiast swój pierwszy tytuł mistrza Urugwaju zdobył dopiero w 2012 rokuAndres Rodriguez wins Uruguay Chess Championship 2012.
Odniósł wiele sukcesów w turniejach międzynarodowych, zwyciężając bądź dzieląc I miejsca m.in.