przy ustalonych warunkach brzegowych dla funkcji i jej pochodnych od pierwszej do (tj. dla ). Punkty brzegowe pochodnej są dowolne.
Kilka funkcji jednej zmiennej z pochodną I rzędu Jeżeli mamy funkcje zmiennej to szukamy extremum funkcjonału
Równania Eulera-Lagrange’a mają postać
Pojedyncza funkcja kilku zmiennych z pochodną I rzędu Jeżeli funkcja zależy od wielu zmiennych jest określona na pewnej powierzchni to
osiąga ekstremum, gdy
Dla funkcjonał jest funkcjonałem energii; ekstremum jest powierzchnią minimalną (np. bańki mydlanej).
Kilka funkcji kilku zmiennych z pochodnymi I rzędu Jeśli trzeba wyznaczyć kilka nieznanych funkcji o wielu zmiennych, takich że
to układ równań Eulera-Lagrange’a ma postać
Pojedyncza funkcja o 2 zmiennych z wyższymi pochodnymi Jeżeli nieznana funkcja zależy od dwóch zmiennych oraz i jeżeli funkcjonał zależy od wyższych pochodnych funkcji – od pierwszej aż do -tej, tj.
to równanie Eulera-Lagrange’a ma postać
co można krótko zapisać w postaci
gdzie są indeksami które przebiegają od 1 do liczny zmiennych, np. tutaj przyjmują wartości od 1do 2. Sumowanie po indeksach jest takie, że tzn. nie może być sumowania tej samej pochodnej cząstkowej dwa razy – po przestawieniu kolejności zmiennych;