Twierdzenie Hilberta o zerach (znane też pod nazwą: Nullstellensatz) – udowodnione przez Davida Hilberta (1862–1943), twierdzenie w algebrze, stanowiące fundament klasycznej geometrii algebraicznej.
Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy rozmaitościami algebraicznymi nad ciałami algebraicznie domkniętymi a ideałami radykalnymi w pierścieniu wielomianów o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.
Sformułowanie W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają wersje zwane słabym twierdzeniem o zerach oraz silnym twierdzeniem o zerach.
Słabe twierdzenie Hilberta o zerach
Niech będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wówczas dowolny ideał maksymalny jest postaci:
dla pewnych .
Silne twierdzenie Hilberta o zerach
Niech będzie ciałem. Dla dowolnego ideału przez oznaczamy:
Natomiast dla dowolnej rozmaitości algebraicznej przez oznaczamy:
Jeżeli ciało jest algebraicznie domknięte, to wówczas dla dowolnego ideału zachodzi:
gdzie oznacza radykał ideału.