Rozwiązanie problemu Zauważmy na samym początku, że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia rozpatrywanego w głównym pytaniu naszego paradoksu – a powiedzmy, że zdarzeniem przeciwnym jest w istocie następujące zdarzenie: każda z osób z rzeczonej grupy, ma swoje własne urodziny w inny dzień – jest, przy liczbie osób równej dokładnie ; równe właściwie:
Wyrażenie ułamkowe, występujące po pierwszym znaku równości w ciągu równości powyżej, wyraża następujące dwie obserwacje: (licznik – interesujące nas zdarzenie przeciwne) jedna z osób może mieć urodziny w każdy z dni; ale wtedy już jakaś kolejna osoba, może mieć urodziny tylko w któryś z odpowiednich dni (ponieważ należy wyłączyć z możliwości dla niej odpowiedni pojedynczy dzień, w który urodziny ma pierwsza rozważana przez nas osoba); (mianownik – wszystkie zdarzenia elementarne) w ogólności, każda z osób z grupy, może mieć urodziny w dowolny z dni roku; których to dni przyjmujemy (w ramach rzeczonego problemu), że jest .
Dalej, rozwiązanie problemu równoważne jest ze znalezieniem najmniejszego takiego że .