Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla ), to układ jest asymptotycznie stabilny. Warunek 3. zwykle sprawdza się w postaci odwołującej się bezpośrednio do prawej strony równania różniczkowego.
Metody niestacjonarne (układ zależy od czasu) Pierwsza metoda Dany jest punkt równowagi układu:
Konstruuje się przybliżenie liniowe w otoczeniu punktu
gdzie pochodna cząstkowa jest oznaczona jako
Uzyskuje się w ten sposób przybliżenie liniowe:
Tak samo jak w przypadku stacjonarnym na podstawie punktu równowagi przybliżenia liniowego wnioskuje się o punkcie równowagi badanego układu.
Druga metoda Metoda ta wymaga skonstruowania funkcji takiej, że: posiada ona ciągłe pochodne cząstkowe po i dla każdego dla każdego
Funkcja taka nazywana będzie funkcją Lapunowa.
Jeśli układ posiada funkcję Lapunowa, to jest stabilny. Jeżeli w trzecim warunku jest nierówność ostra (dla ), to układ jest asymptotycznie stabilny. Dodatkowo, jeśli możemy ograniczyć z dołu i góry funkcję Lapunowa za pomocą dwóch pomocniczych funkcji to jest wykładniczo stabilnym punktem równowagi.
Kategoria:Równania różniczkowe Kategoria:Dynamika Kategoria:Robotyka Kategoria:Teoria sterowania