To daje równanie rekurencyjne
przy warunkach początkowych !0 = 1 i !1 = 0.
Identyczna formuła rekurencyjna występuje dla silni (z innymi warunkami startowymi): mamy 0! = 1, 1! = 1 oraz
Podobieństwo to wykorzystuje się do udowadniania związków liczby nieporządków z liczbą e.
Do wyprowadzenia wzoru jawnego używa się zasady włączeń i wyłączeń:
Dowodzi się również poniższe wzory:
gdzie jest funkcją podłogi, a zaokrągleniem do najbliższej liczby całkowitej.
Zachodzą również następujące zależności rekurencyjne:
Poczynając od n = 0, liczba nieporządków zbioru n-elementowego wynosi: 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... .
Są to kolejne wartości podsilni oraz problemu permutacji z 0 punktami stałymi (patrz niżej).
Granica stosunku nieporządków do permutacji zbioru n-elementowego Używając powyższych rekurencji, można pokazać, że
Jest to granica prawdopodobieństw pn = dn/n! zdarzeń polegających na tym, że losowo wybrana permutacja zbioru o n elementach jest nieporządkiem. Prawdopodobieństwo to szybko zmierza do stałej granicy, w miarę jak wartości n rosną.