Własności thumb|Ilustracja działania w grupie okręgu, które odpowiada dodawaniu miar kątów środkowych (mających wspólne ramię) zgodnie z arytmetyką modularną o module Grupa okręgu jest przemienna, ponieważ mnożenie liczb zespolonych jest przemienne. Grupa okręgu jest podzielna (iniektywna). Grupa okręgu ma naturalną strukturę grupy topologicznej z topologią indukowaną z płaszczyzny zespolonej. Ponieważ okrąg jednostkowy jest domkniętym i ograniczonym podzbiorem płaszczyzny zespolonej, z twierdzenia Heinego-Borela wynika, że grupa okręgu jest zwarta. Grupa okręgu jest izomorficzna (jako grupa topologiczna) z grupą ilorazową Dowód. Odwzorowanie dane wzorem jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest Podgrupa grupy jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie dane wzorem gdzie jest homeomorficznym izomorfizmem grup.. Grupa okręgu jest grupą Liego, której przestrzeń styczna w 1 może być utożsamiana z prostą urojoną płaszczyzny. Odwzorowanie wykładnicze dla tej grupy Liego dane jest wzorem
przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.
Grupa okręgu a grupa liczb całkowitych Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do złożona z ciągłych homomorfizmów do jest dyskretna.