Kwota za jaką został wykupiony to 4 miliony euro.
7 sierpnia 2019 roku Genoa CFC wypożyczyła Jaroszyńskiego do występującego w Serie B US Salernitana 1919. W nowym klubie zadebiutował w spotkaniu Pucharu Włoch z US Catanzaro 1929 wygranym przez jego zespół 3:1. Zawodnik w Serie B zadebiutował w spotkaniu pierwszej kolejki z Delfino Pescara 1936 wygranym przez jego zespół 3:1. Jaroszyński rozegrał 90 minut i zanotował asystę przy bramce na 1:0.
Po zakończonym sezonie 2019/2020 Genoa CFC wypożyczyła Jaroszyńskiego do występującego w Serie B Delfino Pescara 1936. Po rozegraniu w barwach drużyny z Pescary rundy jesiennej sezonu 2020/2021 Paweł Jaroszyński ponownie został wypożyczony do US Salernitana 1919. W 2022 Salaternitana go wykupiła, a 31 sierpnia 2022 roku wypożyczyła do Cracovii. W drużynie „Pasów” zadebiutował 3 września, w wygranym 3:0 spotkaniu przeciwko Rakowowi Częstochowa. 14 października 2025 został zawodnikiem klubu Górnik Łęczna, którego jest wychowankiem.