Obliczenie hamiltonianu z lagrangianu Jeżeli dany jest lagrangian wyrażony przez współrzędne uogólnione prędkości uogólnione oraz czas to hamiltonian oblicza się następująco: Wyznaczamy pędy uogólnione, różniczkując lagrangian względem prędkości uogólnionych:
Z równości uzyskanych w 1 kroku obliczamy prędkości uogólnione wyrażając je za pomocą pędów Obliczamy hamiltonian, używając transformacji Legendre’a:
która, po skorzystaniu z wyrażenia na pęd, przyjmie postać:
Hamiltonian na tym etapie zawiera – zastępujemy więc prędkości wyrażeniami znalezionymi w 2. kroku – otrzymamy
Przykład 2 – wahadło Rozważmy wahadło matematyczne. Jego lagrangian ma postać (por. mechanika Lagrange’a):
Wyznaczenie hamiltonianu Wyznaczamy pęd uogólniony Stąd znajdujemy prędkość uogólnioną którą wstawiamy do lagrangianu Obliczamy hamiltonian z transformacji Legendre’a – otrzymamy
Znalezienie równania ruchu (1) Pierwsze równanie Hamiltona ma teraz postać
stąd znajdujemy
(2) Drugie równanie Hamiltona ma teraz postać
stąd znajdujemy