Wobec tego Analogicznie można wykazać, że zatem
Twierdzenie odwrotne Jeśli jest zbiorem niepustym i jest jego rozbiciem, to relacja określona w zbiorze wzorem
jest relacją równoważności.
Dowód Jeśli to ponieważ to dla pewnego a stąd wynika, że
Jeśli to Wynika to z oczywistej implikacji:
Niech Istnieją dla których Jednak w tym wypadku ponieważ skąd a więc .
Zastosowania mały|350px|Pary uporządkowane liczb naturalnych w kartezjańskim układzie współrzędnych. Odpowiednia relacja równoważności między takimi parami pozwala ściśle zdefiniować liczby całkowite, za pomocą konstrukcji. Pary w tej relacji zaznaczono jednakowym kolorem
Z zasady abstrakcji często korzysta się w matematyce wtedy, gdy występuje potrzeba zdefiniowania nowych typów obiektów.
Konstrukcja liczb całkowitych W zbiorze można wprowadzić taką relację równoważności że
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana relacja jest zwrotna i symetryczna. Ponadto jest ona przechodnia, ponieważ z równości
wynika co daje czyli