W 1962 roku zdobył drugą nagrodę w międzynarodowym konkursie w Monachium, a trzy lata później wygrał Konkurs Clary Haskil w Montreux, dzięki któremu stał się znany i ceniony. W 1966 roku debiutował w Londynie, a trzy lata później wystąpił u boku Cleveland Orchestra i George'a Szella. Szell był pod wrażeniem Eschenbacha i do swojej śmierci w 1970 roku utrzymywał z nim bliskie relacje i uczył go dyrygentury. Później przez 25 lat jego mentorem był Herbert von Karajan. W 1972 roku zadebiutował jako dyrygent prowadząc III Symfonię Antona Brucknera.
Jako pianista Eschenbach wygrał wiele konkursów, w tym konkurs Clary Haskil w Vevey w 1965 roku. Rok wcześniej wystąpił w studiu Deutsche Grammophon i podpisał kontrakt z tą wytwórnią. W 1979 roku został dyrektorem muzycznym Rheinland-Pfalz State Philharmonic (do 1981 roku). Ponadto był głównym dyrygentem NDR Symphony Orchestra w Hamburgu (1998-2004), dyrektorem muzycznym Ravinia Festival, dyrektorem artystycznym Schleswig-Holstein Music Festival (1999-2002). W 1988 roku objął stanowisko dyrektora artystycznego Houston Symphony Orchestra. Od 2000 roku był dyrektorem muzycznym Orchestre de Paris.