należy dowieść, że Można to uczynić za pomocą kryterium bycia podgrupą, jednak można skorzystać z twierdzenia zapewniającego, że obraz homomorficzny grupy jest podgrupą w obrazie: zawężenie do jest homomorfizmem i z definicji jest
wspomniane twierdzenie daje teraz skąd Zależność będzie użyteczna w kolejnych częściach.; (2) jeżeli to Niech Dowód, że jest prosty: dla dowolnego jest też zatem ponieważ dla wszystkich to ; (3) jeżeli oraz to Niech oraz Należy dowieść Założenie oznacza Ponadto dla każdego zachodzi dla dowolnego istnieje taki dla którego
Dla jak wyżej otrzymuje się
skąd czyli (z własności warstw)
Dlatego dla dowolnego a zatem ; (4) jeżeli oraz to To bezpośredni wniosek z (3): jeśli to oraz a więc i oraz na mocy (3), zatem (pokazuje to zarazem, że odpowiedniość jest jednoznaczna, tzn. różnowartościowa).; (5) jeżeli jest dowolną podgrupą to istnieje dla której oraz Dla każdej należy znaleźć dla której oraz Podobnie jak w części (1) podgrupę można wskazać za pomocą przeciwobrazów elementów w Przyjmując
widać, że oznacza Należy pokazać, że ponadto oraz że
Najpierw ponieważ to zatem Stosując kryterium bycia podgrupą: (i) jeśli to czyli tzn. a zatem jest zamknięte ze względu na mnożenie; (ii) jeśli to czyli tzn.