jego jądrem jest
Zatem skąd, z części (4),
Jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną w dziedzinie, zatem co należało dowieść.; (7) jeżeli oraz to Każdy z oraz pociąga drugi. Założywszy prawdziwość jednego, a więc dwóch z nich, i mając homomorfizm uzyskuje się
Z (*) wiadomo, że Co do obrazu, ponieważ jest na z założenia, a jest na jako homomorfizm naturalny, zatem ich złożenie również jest „na”. Zatem i (#) staje się .
Wnioski Ważny przypadek szczególny powyższego twierdzenia to przypadek homomorfizmu naturalnego (zob. rozkład grupy ilorazowej); przypadek ten umożliwia wyczerpujący opis podgrup grupy ilorazowej – jego ostatnią zależność określa się jako twierdzenie o ilorazie ilorazu lub, częściej, trzecie (drugie) twierdzenie o izomorfizmie – dzięki poniższemu stwierdzeniu można m.in. przeprowadzić klasyfikację grup ilorazowych grup cyklicznych:
Stwierdzenie Niech Podgrupy grupy są podgrupami ilorazowymi gdzie przebiega podgrupy grupy spełniające Dokładniej, dla każdej podgrupy grupy istnieje jednoznacznie wyznaczona podgrupa grupy spełniająca dla której Jeżeli i są podgrupami np.