Kariera tenisowa 2014–2016: Pierwsze sukcesy thumb|left|Andriej Rublow (2016) Pierwszy wielki sukces odniósł w 2014 roku, wygrywając juniorski French Open pokonując w finale Jaume Munara. W tym samym roku został najwyżej rozstawionym graczem zarówno w singlu, jak i deblu na igrzyskach olimpijskich młodzieży w Nankin. Po półfinałowej porażce z Kamilem Majchrzakiem zdobył brąz w singlu, a także z Karenem Chaczanowem srebro w deblu.
Rublow zadebiutował w singlu i deblu podczas ATP World Tour w październiku 2014 roku podczas Kremlin Cup w Moskwie. W singlu przegrał w pierwszej rundzie z Samuelem Grothem w dwóch setach, natomiast w deblu wygrał dwa mecze razem z Jewgienijem Donskojem. Na początku 2015 roku wygrał po raz pierwszy z zawodnikiem z pierwszej 100 rankingu – Dudi Selą w Delray Beach. Na turnieju w Miami pokonał w pierwszej rundzie – jako 389. w światowym rankingu, tenisistę z 54. miejsca Pablo Carreño Bustę w trzech setach. Na US Open zagrał po udanych kwalifikacjach, jednak odpadł w pierwszej rundzie przegrywając z 14. rakietą świata Kevinem Andersonem. Na koniec roku Andriej był na 185. miejscu w indywidualnym rankingu ATP.