Lemat Rosenthala – twierdzenie dotyczące wspólnej aproksymacji miar skończenie addytywnych określonych na zbiorze potęgowym danego zbioru nieskończonego. Znajduje ono zastosowania w teorii miar wektorowych o wartościach w przestrzeniach Banacha.
Udowodniony przez Haskella Rosenthala w 1970 rokuH.P. Rosenthal, On relatively disjoint families of measures, with some applications to Banach space theory, Studia Math. 37 (1970), 13–36. lemat ma zwarty dowód podany przez Josepha Kupkę w 1974 rokuJ. Kupka, A short proof and generalization of a measure theoretic disjointization lemma. Proc. Amer. Math. Soc., 45, 70–72., który przytoczono niżej.
Twierdzenie Niech będzie zbiorem nieskończonym oraz niech
będzie jednostajnie ograniczoną rodziną skończenie addytywnych miar na zbiorze potęgowym zbioru tj.
Wówczas dla każdego istnieje taki zbiór mocy równej mocy zbioru że
dla wszelkich
Dowód Gdyby twierdzenie było fałszywe, to istniałaby taka liczba dla której żaden podzbiór mocy równej mocy zbioru nie czyniłby zadość tezie twierdzenia.
Ponieważ zbiory i są równoliczne (na mocy twierdzenia Hessenberga równoważnego aksjomatowi wyboru), zbiór można przedstawić w postaci
gdzie rodzina
składa się z parami rozłącznych podzbiorów mocy równej mocy zbioru Istnieje zatem takie że