W styczniu 1940 roku został zatrudniony przez Kancelarię Führera z zadaniem przeprowadzenia renowacji jej siedziby przy Tiergartenstraße 4. W gestii Kancelarii znajdowała się w tym czasie eksterminacja osób chorych psychicznie i niepełnosprawnych umysłowo, prowadzona pod kryptonimem akcja T4. Lambert wkrótce stał się głównym specjalistą budowlanym programu „eutanazji”. Przebudował pomieszczenia w ośrodkach w Bernburgu, Hadamarze, Hartheim i Sonnenstein, aby służyły jako komory gazowe. Brał także udział w przebudowie ośrodka wypoczynkowego T4 nad jeziorem Attersee. Ze względu na fakt, iż stale krążył pomiędzy rozmaitymi ośrodkami programu „eutanazji”, zyskał przydomek „latającego architekta T4”.
Podobnie jak wielu innych wykonawców akcji T4 został przeniesiony do okupowanej Polski, aby wziąć udział w eksterminacji Żydów. W czerwcu tegoż roku w stopniu SS-Unterscharführera uczestniczył w budowie obozu zagłady w Treblince. Niektóre źródła podają, że wybudował tam pierwsze komory gazowe. Michael Bryant twierdzi jednak, że Lambert pojawił się w Treblince już po zakończeniu ich budowy, a jego zadaniem było jedynie nadzorowanie polskich i żydowskich robotników, którzy budowali baraki, ogrodzenie i pozostałe obiekty obozowe.