W tym przypadku, dla każdej liczby naturalnej spełniona jest także nierówność
Oznacza to, że ciąg
jest ograniczony (przez ). Ciąg ten jest także niemalejący, istotnie
tj. dla wszystkich zachodzi
Każdy ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny, a więc szereg jest zbieżny, gdyż zbieżny jest jego ciąg sum częściowych.
Wersja graniczna Pod założeniem, jeżeli istnieje granica gdzie to gdy to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu ; gdy to z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu . W równoważnym sformułowaniu: gdy oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne; gdy to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu ; gdy to z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu .
Wersja ułamkowa Pod założeniem, jeżeli dla dostatecznie dużych spełniona jest nierówność
ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu (a więc z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu ).
Przykład zastosowania Niech tj. w tym przypadku szereg jest zbieżnym szeregiem geometrycznym. Niech
Szereg jest zbieżny, gdyż
tj.