Funkcję oceny jakości wielomianu można zdefiniować w różny sposób, często stosowane kryteria to: maksymalna różnica powinna być jak najmniejsza (aproksymacja jednostajna), suma wartości bezwzględnych różnic powinna być jak najmniejsza, suma kwadratów różnic powinna być jak najmniejsza (aproksymacja średniokwadratowa).
Aproksymacja wielomianowa średniokwadratowa W aproksymacji średniokwadratowej wielomianowej funkcja błędu jest zdefiniowana następująco:
Współczynnik jest ustaloną funkcją wagową. Najczęściej przyjmuje się, że funkcja wagowa zawsze przyjmuje wartość 1 – wówczas możemy ten czynnik pominąć.
Funkcja ta osiąga minimum w punkcie, w którym pochodne cząstkowe względem współczynników są równe zero. W celu znalezienia tego minimum należy rozwiązać zatem układ równań:
Po przekształceniach układ ten można sprowadzić do postaci:
Układ ten można rozwiązać, stosując np. wzory Cramera lub metodę Gaussa-Seidla.
Stopień wielomianu Liczba współczynników wielomianu powinna być mniejsza od liczby punktów, które ma przybliżać funkcja Dla zawsze jest możliwe wyznaczenie wielomianu przechodzącego dokładnie przez podane punkty – wówczas problem sprowadza się do interpolacji wielomianowej.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Aproksymacja