ciała w polach grawitacyjnych poruszają się po liniach geodezyjnych, które nie są prostymi euklidesowymi.
Współrzędne krzywoliniowe w przestrzeni euklidesowej 3D (1) Niech w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z wprowadzonym w niej układem kartezjańskim będzie dany punkt opisany jego wektorem wodzącym zależnym od trzech parametrów tj.
gdzie: są wersorami bazy przyjętego układu współrzędnych kartezjańskich oraz
przy czym funkcje są klasy tj. mają ciągłe pierwsze pochodne cząstkowe.
(2) Definicja: Parametry nazywamy współrzędnymi krzywoliniowymi punktu jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy nimi a współrzędnymi kartezjańskimi punktu przy czym wymaga się, by poniższy jakobian był różny od zera dla punktów gdzie – zbiór, na jakim chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe, tj.
Warunek niezerowania się jakobianu oznacza, że w każdym punkcie rozważanego obszaru będzie można wprowadzić 3 osie lokalnego układu współrzędnych, styczne do linii współrzędnych i parami nierównoległe (por. rys. 2). link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:General_curvilinear_coordinates_1.svg|mały|257x257px|Rys. 2.