Pochodna funkcji w punkcie albo różniczka funkcji w punkcie to przekształcenie liniowe będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji w punkcie
W matematyce i naukach ją wykorzystujących szczególnie ważne są funkcje postaci ponieważ można zdefiniować ich ekstremum. Pochodne takich funkcji służą do szukania ich ekstremum. Definicja
Niech będzie zbiorem otwartym. Powiemy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie jeżeli istnieje przekształcenie liniowe takie, że Spivak definiuje pochodną wzorem
jednakże norma w liczniku jest redundantna, ponieważ w przestrzeniach unormowanych
Przekształcenie liniowe nazywamy pochodną funkcji w punkcie albo różniczką funkcji w punkcie i oznaczamy lub podobnie.
Równoważnie funkcja jest różniczkowalna w punkcie jeżeli jej przyrost w tym punkcie można przedstawić w postaci:
gdzie reszta ma własność
Stąd wynika, że różniczka to najlepsze możliwe liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.