gdzie – czteroprędkość cząstki, – różniczkowy przyrost tzw. interwału czasoprzestrzennego mierzony wzdłuż trajektorii cząstki; równoważnie można zapisać, że różniczka 4-prędkości cząstki zeruje się, tj.
(2) Równanie ruchu cząstki swobodnej w zakrzywionej czasoprzestrzeni
Przechodząc do układu współrzędnych krzywoliniowych równanie ruchu cząstki nie podlegającej oddziaływaniom należy zmodyfikować zamieniając różniczkę zupełną na różniczkę absolutną, tj.
Różniczka absolutna wektora kowariantnego dana jest zależnością
lub
gdzie: – różniczka 4-prędkości cząstki.
Stąd mamy równanie ruchu cząstki w układzie krzywoliniowym
Dzieląc przez i uwzględniając, że znajdujemy
Jest to równanie linii geodezyjnej w przestrzeni z metryką (od której zależą m.in. symbole Christoffela ). Przy tym, jeżeli przestrzeń jest pozbawiona źródeł pola grawitacyjnego, to symbole Christoffela są takie, że zerują tensor krzywizny i równania geodezyjnych sprowadzają się do prostych euklidesowych;